슈뢰딩거 방정식의 응용
슈뢰딩거 방정식(양자 역학의 운동 방정식)을 다입자 시스템에 어떻게 적용합니까? 슈뢰딩거 방정식(6.5)에서 해밀터니언 H는 3개 입자 시스템을 나타내는 해밀터니언이며 H=T+V(6.8)로 쓸 수 있습니다.
입자의 퍼텐셜 에너지를 나타내는데, 여기서 주함수는 7에만 작용하는 라플라시안 연산자, r은 도로에만 작용하는 라플라시안 연산자, 미들은 7에만 작용하는 라플라시안 연산자이다.
또한 파동 함수로 다양한 입자 시스템을 나타내는 파동 함수로 (6.9)를 쓸 수 있습니다.
따라서 양자역학에서는 3개의 입자로 구성된 시스템 문제를 풀 때 고전역학에서와 같이 3개의 방정식을 푸는 대신에 방정식 (6.8)을 방정식 (6.5)의 Hamiltonian으로 대입하고 방정식 (6.9)를 파동으로 대입한다.
슈뢰딩거 방정식을 푸는 함수
예를 들어 고전 역학을 사용하여 다중 입자 시스템에 대한 뉴턴 방정식은 입자가 외부 힘만 받는 경우 동일한 모양의 단일 입자에 대한 뉴턴 방정식을 푸는 것으로 축소될 수 있음을 확인했습니다.
양자역학에서 입자가 외력만 받는다면 슈뢰딩거 방정식이 이렇게 단순할까 하는 생각이 들었습니다.
입자가 외력만 받는 경우 3입자 시스템의 위치 에너지는 (6.10)으로 표현됩니다.
예를 들어 3전자계에 작용하는 위치 에너지가 원점의 핵과 전자 사이의 위치 에너지라면 식 (6.10)은 (6.11)이 되는데, 여기서 같은 형태의 위치 에너지 V는 세 전자 모두에 대해 좌표가 된다.
. 각 입자에 해당하는 7.72g을 대체합니다.
방정식 (6.10)의 오른쪽과 같이 한 입자의 위치에만 의존하는 위치 에너지를 단일체 상호 작용이라고 합니다.
오른쪽의 아래첨자 1은 이것이 싱글톤 상호작용임을 나타내는 데 사용됩니다.
방정식 (6.10)의 우변의 특징은 세 항이 동일한 기능적 형태를 갖는다는 것입니다.
입자에 작용하는 힘이 한 물체의 상호 작용으로 표현되는 위치 에너지에서 이와 같이 유도되면 첫 번째 입자에 작용하는 힘은 (6.12)에 표시되며 예상대로 위치에 있는 입자에만 의존합니다.
벡터 7은 힘을 수용합니다.
하다.
이 결과는 다른 입자에 대해서도 마찬가지이므로 일체 상호 작용은 다중 입자 시스템의 입자가 외력에 의해 영향을 받는 상황을 나타낸다고 볼 수 있습니다.
3개 입자 시스템의 입자가 외력만 받는 경우 전위가 (6.10)과 같은 단일체 상호 작용인 경우 3개 입자 시스템(6.8)의 Hamiltonian은 (6.13)으로 쓸 수 있습니다.
. 여기서 (6.14)는 객체 Hamiltonian이라고 하는 각 입자의 좌표에만 의존합니다.
그러면 3개 입자계에서 입자의 위치 에너지가 신체 상호작용이라면 이를 설명하는 슈뢰딩거 방정식은 (6.15)로 쓸 수 있다.
미분방정식의 각 항이 첫 번째 항은 좌표에만 의존하고, 두 번째 항은 좌표에만 의존하고, 세 번째 항은 좌표에만 의존한다면, 이러한 미분 방정식은 다음과 같은 분리된 변수의 형태를 갖는다고 합니다.
아래의 경우에 미분방정식은 변수분리법으로 풀 수 있다.
미분 방정식이 변수 형식인 경우(예: (6.15)) 파동 함수 2의 해는 항상 (6.16)으로 쓸 수 있습니다.
이것은 세 좌표의 함수가 각 입자의 좌표에만 의존하는 파동 함수의 곱으로 표현될 수 있음을 의미합니다.
이 경우 첫 번째 입자를 나타내는 단위체 파동함수만 호출합니다.
그러나 각 원자의 좌표는 독립적으로 변경될 수 있습니다.
서로 독립적인 결과에 의존하는 세 항의 합이 오른쪽의 상수와 같으려면 세 번째 쪽의 후손이 일정해야 합니다.
많은 입자로 구성된 시스템의 입자가 외부 힘만 받고 그 힘이 한 물체의 상호 작용으로 표현될 때 슈뢰딩거 방정식은 방정식 (6.22)의 형식을 취합니다.
즉, 다중 입자의 파동함수를 직접 구하는 것이 아니라 수학식 6.16과 같이 하나의 입자에 대해서만 슈뢰딩거 방정식을 풀고 각 입자의 파동함수를 곱하여 다중 입자의 파동함수를 구할 수 있다.
특히, 식(6.22)의 3개의 슈뢰딩거 방정식을 푸는 경우 3개를 모두 풀 필요는 없다.
세 개의 방정식은 같은 형식이므로 세 개의 방정식을 푸는 것은 동일한 방정식을 푸는 것과 같습니다.
서로 다른 입자의 초기 또는 경계 조건만 다릅니다.
이 결과는 고전역학에서와 같은 결과로서 외력만 가해지면 여러 입자에 대한 뉴턴의 방정식이 같은 모양의 서로 독립된 물체에 대한 뉴턴의 방정식으로 변환됩니다.
따라서 많은 입자로 구성된 시스템에서 입자가 외부 힘에만 영향을 받고 신체 상호 작용으로 설명되면 마치 단일 신체를 다루는 것처럼 문제가 해결됩니다.
원자 내부에 전자를 포함하는 계에서는 외력, 즉 핵을 끌어당기는 힘이 전자에 작용하는 가장 중요한 힘이기 때문에 위에서 설명한 것처럼 원자 문제는 비교적 쉽게 풀 수 있다.
그러나 핵에는 원자 내부의 전자에 대한 핵 역할을 하는 핵자가 포함되어 있지 않습니다.
핵자는 그들 사이에 작용하는 강한 핵력에 의해 원자의 핵을 형성합니다.
따라서 핵자 응집을 설명하는 위치 에너지는 적분 상호 작용으로 표현할 수 없습니다.
마찬가지로 3개의 핵자로 구성된 핵을 가정하면 이 시스템의 위치 에너지는 (6.10) 대신 (6.24)로 표현할 수 있으며 아래 그림의 오른쪽에 있는 V는 두 물체의 상호 작용을 나타냅니다.
여기서 오른쪽의 첫 번째 항은 첫 번째 입자와 두 번째 입자 사이의 상호작용, 두 번째 항은 두 번째 입자와 세 번째 입자 사이의 자발적인 상호작용, 세 번째 항은 세 번째 입자와 첫 번째 사이의 상호작용이다.
입자. 예를 들어 세 개의 핵자가 모두 양성자이고 그들 사이에 전기력만 작용한다면 식 (6.24)는 (6.25)가 된다.
이러한 두 입자의 좌표 의존 상호작용을 2체 상호작용이라고 하며, 핵자 사이에 작용하는 위치 에너지는 2체 상호작용의 합으로 구성된다.
원자의 경우 전자에 작용하는 상호 작용의 상당 부분이 핵에 작용하는 필수 상호 작용이기 때문에 이 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다.
핵을 구성하는 핵자들 사이의 상호작용은 2체 상호작용이기 때문에 이 문제는 원자를 구성하는 전자의 경우처럼 쉽게 풀리지 않을 것으로 예상된다.
그러나 놀랍게도 우리가 배우게 될 원자핵의 핵자 사이의 위치 에너지가 완전한 상호 작용으로 표현될 수도 있다는 것을 깨달았습니다.
그러나 핵자 사이의 상호 작용은 본질적으로 2체 상호 작용입니다.
따라서 핵을 이해하기 위해서는 핵자 사이에 작용하는 두 물체의 상호작용을 이해할 필요가 있다.
원자핵이 양전하를 띤 양성자와 중성을 띠는 중성자로만 구성되어 있다는 사실은 핵전하 사이에 작용하는 전기력 외에도 전기력보다 더 강한 인력을 제공하는 다른 상호 작용이 있음을 시사합니다.
핵자 사이의 전기력을 제외한 이 두 물체의 상호 작용을 핵력이라고 합니다.
핵자 사이의 핵력을 이해하기 위해서는 두 개의 핵자가 일으키는 현상에서 가장 기본적인 정보를 얻을 수 있다.
두 핵자의 정보는 주로 두 핵자가 형성한 안정계의 결합 상태와 두 핵자의 산란 실험에서 나온다.